Question

求由方程组{xu-yv=0,yu+xv=1所确定的隐函数u=u(x,y),v=v(x,y)对各自变量的偏导数

求əu/əx,əu/əy,əv/əx,əv/əy

Answer 1

由方程组{xu-yv=0,yu+xv=1所确定的隐函数u=u(x，y)，v=v(x，y)对各自变量的偏导数：

设F(x，y，u)=u³+xu-y=0，则∂u/∂x=-(∂F/∂x)/(∂F/∂u)=-u/(3u²+x)；∂u/∂y=-(∂F/∂y)/(∂F/∂u)=1/(3u²+x)；再设G(x，y，v)=v³+yv-x=0，则∂v/∂x=-(∂G/∂x)/(∂G/∂v)=1/(3v²+y)；∂v/∂y=-(∂G/∂y)/(∂G/∂v)=-v/(3v²+y)。

性质分析

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

你要理解u v 函数的含义，u v 是关于 (x,y)的二元函数，x y 的地位是一样的。
并不是之前所学，y是x的函数，所以 u v 对x的偏导时，y可视为常数。
例子：u(x,y)=x^2+y^3
偏u/偏x=2x+y^3,偏u/偏y=x^2+3y^2