不定积分ln（1+x）/根号xdx
ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。
∫ln(1+x)/√x dx
=2∫ln(1+x)d√x
=2ln(1+x)*√x -2∫√x dln(1+x)
=2ln(1+x)*√x -2∫√x /(1+x)dx
对于∫√x /(x+1)dx令√x=t,x=t^2,
dx=2tdt∫√x /(1+x)dx
=∫t/(t^2+x)*2tdt
=2∫[1-1/(t^2+x)
所以ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。
∫ln(1+x)/√x dx
=2∫ln(1+x)d√x
=2ln(1+x)*√x -2∫√x dln(1+x)
=2ln(1+x)*√x -2∫√x /(1+x)dx
对于∫√x /(x+1)dx令√x=t,x=t^2,
dx=2tdt∫√x /(1+x)dx
=∫t/(t^2+x)*2tdt
=2∫[1-1/(t^2+x)
所以ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。
扩展资料：
1、分部积分法的形式
（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。
例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx
（2）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C
2、不定积分公式
∫mdx=mx+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C。
希望对你有所帮助
如图
