Question

高中数学立体几何证明题: 证明面面垂直一题

求解：高一数学“立体几何”一题（请见图片）。谢谢！

Answer 1

如图所示，取CD的中点E，连接AE、ME。

因为SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB，

所以△SAD为等腰直角三角形，又因为点M为SD中点，设SA=AB=AD=a，

则AC=a√2，AE=(a√5)/2，AM=(a√2)/2，SC=a√3，

因为点M、E分别为SD、CD的中点，所以ME为△SDC的中位线，

有ME∥SC且ME=SC/2=(a√3)/2，

因为在△AME中AE=(a√5)/2，AM=(a√2)/2，ME=(a√3)/2，

满足AM²+ME²=AE²，所以△AME是∠AME=90°的直角三角形，

即AM⊥ME，由ME∥SC可知AM⊥SC，

又因为AN⊥SC，AM、AN在平面AMN中相交于点A，

所以SC⊥平面AMN，而SC在平面SAC上，所以平面SAC⊥平面AMN。

Answer 2

用向量比较简单