Question

求解高数问题！

Answer 1

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Answer 2

已知一曲线过原点，且它在(x，y)处的切线的斜率为2x+y，求曲线方程；
解：依题意有 y'=2x+y..........①；解此微分方程：
先求齐次方程 y'=y的通解：分离变量得 dy/y=dx；积分之得：lny=x+lnc₁；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^x；将c₁换成x的函数u，得y=ue^x..........②
对①取导数得：dy/dx=y'=u'e^x+ue^x.........③
将②③代入①式得：u'e^x+ue^x=2x+ue^x，化简得：u'e^x=2x；
故u'=du/dx=2xe^(-x)；∴ u=∫2xe^(-x)dx=-2∫xd[e^(-x)]=-2[xe^(-x)-∫e^(-x)dx]
=-2[xe^(-x)+∫e^(-x)d(-x)]=-2[xe^(-x)+e^(-x)]+c=-2(x+1)e^(-x)+c............④;
将④代入②式即得所求曲线方程的一般形式为：y=-2(x+1)+ce^x；
代入初始条件y(0)=0，得c=2；故所求曲线的特解为：y=-2(x+1)+2e^x；