Question

求微分方程y″＋ y=0的通解

Answer 1

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex

故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1

故 a=-2，b=1

对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x

设其特解为 y*=Ax+B

代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x

整理可得（A-1）x+（B-2A）=0

所以 A=1，B=2

所以特解为 y*=x+2

通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2

将y（0）=2，y（0）=0 代入可得

C1=0，C2=-1。

故所求特解为 y=-xex+x+2

故答案为-xex+x+2

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。

一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

Answer 2

直接用书上的结论即可，答案如图所示

Answer 3

特征方程为r²+1=0

r=±i

所以通解为：y=C1cosx+C2sinx

Answer 4

∵y''+y=0的特征方程是r²+1=0，则r=±i
∴齐次方程y''+y=0的通解是y=C1sinx+C2cosx
(C1,C2是积分常数)

Answer 5

两边积分得，y+(y^2)/2=k,(k为任意常数)
即(y^2)/2+y-k=0
解得y=-1±根号（1+2k）
所以通解为y=k