如果椭圆x236+y29=1的弦长被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是
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设弦交椭圆两点p1(x1,y1),p2(x2,y2）则有x1*x1/36+y1*y1/9=1,x2*x2/36+y2*y2/9=1
两式想减得：（x1+x2)(x1-x2)/36+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
1、当弦不垂直于x轴时即x1不等于x2，由上式有(y1-y2)/(x1-x2)=9(x1+x2)/[36(y1+y2)]=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]
又弦长被点（4，2）平分即它是弦的中点，得x1+x2=4*2=8,y1+y2=2*2=4代入得(y1-y2)/(x1-x2)=-8/(4*4)=-1/2即弦所在直线斜率为-1/2又过点（4，2）则该直线方程为y=(-1/2)(x-4)+2=(-1/2)x+4或x+2y-8=0
2、当弦垂直于x轴时即x1=x2，又弦长中点为（4，2）易得x1=x2=4代入x*x/36+y*y/9=1有y=（根号5）或-（根号5）则（y1+y2）/2=0不是中点横坐标2，矛盾故舍
综上现所在直线方程为x+2y-8=0
两式想减得：（x1+x2)(x1-x2)/36+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
1、当弦不垂直于x轴时即x1不等于x2，由上式有(y1-y2)/(x1-x2)=9(x1+x2)/[36(y1+y2)]=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]
又弦长被点（4，2）平分即它是弦的中点，得x1+x2=4*2=8,y1+y2=2*2=4代入得(y1-y2)/(x1-x2)=-8/(4*4)=-1/2即弦所在直线斜率为-1/2又过点（4，2）则该直线方程为y=(-1/2)(x-4)+2=(-1/2)x+4或x+2y-8=0
2、当弦垂直于x轴时即x1=x2，又弦长中点为（4，2）易得x1=x2=4代入x*x/36+y*y/9=1有y=（根号5）或-（根号5）则（y1+y2）/2=0不是中点横坐标2，矛盾故舍
综上现所在直线方程为x+2y-8=0
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2024-10-13 广告
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