Question

三角形ABC 求证sinA+sinB+sinC≤(3√3 )/2

Answer 1

令f(A)=sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)=sinA+sinB+sinAcosB+cosAsinB
∴f'(A)=cosA+cosAcosB-sinAsinB=cosA+cos(A+B)=cosA-cosC
则f'(A)=0时取得最大值
即对于每一个确定的C值，当cosA-cosC=0,得A=C时，f(A)取得最大值
同理，当B=A时，f（B）取得最大值,
当C=B时，f(C)取得最大值
这样可解得A=B=C=60º时,sinA+sinB+sinC最大
∴sinA+sinB+sinC≤3(√3/2)

Answer 2

题目应该是在锐角三角形中。
诚如是，则解答如下：
先证明sina+sinb>1+cosc。
由a、b是锐角得a-b<c及b-a<c，可得cos[(a-b)/2]>cos(c/2)。又sin[(a+b)/2]=cos(c/2)，所以sina+sinb-(1+cosc)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]-2cos²(c/2)=2cos(c/2){cos[(a-b)/2]-cos(c/2)}>0，所以sina+sinb>1+cosc。
所以sina+sinb+sinc>1+cosc+sinc=1+√2sin(c+π/4)。
c是锐角，所以π/4<c+π/4<3π/4，sin(c+π/4)>√2/2，1+√2sin(c+π/4)>2。结论成立。