Question

如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.

！！！！

Answer 1

 

证明:

过D作DG∥AC交BC于G，
∵DG∥AC，
∴∠GDF=∠CFE，∠DGE=∠FCE．

 

在△DGE和△FCE中
∵∠GDE=∠CFE∠DGE

∴△DGE≌△FCE（AAS）．
∴DG=CF，
∵BD=CF，
∴DG=BD．
∴∠DGB=∠B．
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB．
∴∠B=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．

Answer 2

延长BC，作EG‖BA，交BC延长线于G，
∵EG‖BA
∴〈FEG=〈BDF（内错角相等），
∵〈EFG=〈BFD（对顶角相等），
DF=FE
∴△BDF≌△GEF（ASA）。
∴EG=BD，
∵CE=BD，
∴EG=CE，
三角形ECG是等腰三角形，
∴〈CGE=〈GCE
∵〈GCE=〈ACB（对顶角），
〈ABC=〈CGE
∴〈ABC=〈ACB，
∴△ABC是等腰三角形.

Answer 3

过D作DG∥AC交BC于G，
∵DG∥AC，
∴∠GDF=∠CFE，∠DGE=∠FCE．
在△DGE和△FCE中
∵∠GDE=∠CFE∠DGE=∠FCEDE=FE，
∴△DGE≌△FCE（AAS）．
∴DG=CF，
∵BD=CF，
∴DG=BD．
∴∠DGB=∠B．
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB．
∴∠B=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．