Question

因为数列{an}为等差数列，an+1=2an+2，a1=1，求数列an通项公式。

Answer 1

（I）∵a
n+1
=2a
n
+1（n∈N
*
），
∴a
n+1
+1=2（a
n
+1），
∴{a
n
+1}是以a
1
+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a
n
+1=2
n
．
即a
n
=2
n
-1∈N
*
）．
（II）证明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)
∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn．
∴2[（b
1
+b
2
+…+b
n
）-n]=nb
n
，①
2[（b
1
+b
2
+…+b
n
+b
n+1
）-（n+1）]=（n+1）b
n+1
．②
②-①，得2（b
n+1
-1）=（n+1）b
n+1
-nb
n
，
即（n-1）b
n+1
-nb
n
+2=0，nb
n+2
-（n+1）b
n+1
+2=0．
③-④，得nb
n+2
-2nb
n+1
+nb
n
=0，
即b
n+2
-2b
n+1
+b
n
=0，
∴b
n+2
-b
n+1
=b
n+1
-b
n
（n∈N
*
），
∴{b
n
}是等差数列．
（III）证明：∵
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
2k-1
2(2k-
1
2
)
＜
1
2
，k=1，2，，n，
∴
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
＜
n
2
．
∵
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
1
2
-
1
2(2k+1-1)
=
1
2
-
1
3.2k+2k-2
≥
1
2
-
1
3
.
1
2k
，k=1，2，，n，
∴
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
≥
n
2
-
1
3
(
1
2
+
1
22
++
1
2n
)=
n
2
-
1
3
(1-
1
2n
)＞
n
2
-
1
3
，
∴
n
2
-
1
3
＜
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
＜
n
2
(n∈N*)．

Answer 2

似乎an不是等差数列，左边的n+1是下标吧。
那么用特征方程应该很简单。an=2^(n-1)×3-2