Question

关于方程lgx+lg(4-x)=lg(a+2x),并讨论解的个数

Answer 1

首先根据函数的定义域，x>0,4-x>0,a+2x>0

=>
0<x<4
,
a+2x>0
......................(1)
在上述条件下，原方程可改写为，

x(4-x)=a+2x
=>
x^2-2x+a=0
.....................................(2)

其Δ=4-4a=4(1-a)
≥0
=>
a≤1
..............(3)
当a=1时，只有一个根，x=1
,满足条件(1)要求，故是原方程的根。
当a<1时，方程(2)两个根分别为：x1=1+√(1-a)
，
x2=1-√(1-a)
对x1：0<1+√(1-a)<4
......(5)
,
a+2(1+√(1-a))>0
......(6)

解(5)
√(1-a)<3
=>
a>-8

解(6)
a+2(1+√(1-a))>0
=>
显然a>=-2时恒成立，当a<-2时，移项得√(1-a)>-(a/2+1)
=>1-a>a^2/4+a+1
=>
a(a+8)<0
=>
a>-8

故(6)的解为：
a>-8

即对x1,仅当
-8<a<1
时是原方程的根。
对x2:：0<1-√(1-a)<4
......(7)
,
a+2(1-√(1-a))>0
......(8)

解(7)
:
1-√(1-a)>0
=>a>0

1-√(1-a)<4
=>恒成立。

解(8)
:
a+2(1-√(1-a))>0
=>
√(1-a)<a/2+1

当a<-2时，不可能成立。当a>=-2时，a(a+8)>0
=>a>0

即对x2，仅当0<a<1时是原方程的根。
结论：当a=1时，方程只有一个根，x=1;

当0<a<1时，方程有两个根，分别是x1=1+√(1-a)
x2=1-√(1-a)；

当
-8<a<=0时，方程有一个根，是x1=1+√(1-a)
；

当
a>1
或
a<=-8时，方程无解。