Question

若实数a,b,c满足a2+b2+c2=9,那么代数式（a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是？

Answer 1

a=b=c,（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0,
所以a=b=c是错误的
解:已知a、b、c为实数，a^2+b^2+c^2=9
设y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
则
y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2*(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)
=2*9-2(ab+bc+ac)
=18-2(ab+bc+ac)
分析：要y有最大值，则（ab+bc+ac）必须是负数，而且a、b、c中，必有一个为0
设c=0，a>0,b<0，则ab<0,问题变为求|ab|的最大值
a^2+b^2=9
2ab≤a^2+b^2
2|ab|的最大值=a^2+b^2=9
可知a=-b时，即a=√（9/2），b=-√（9/2），c=0时
y有最大值=18+9=27
检验：
y的最大值=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6a^2=6*9/2=27
答：（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值=27

Answer 2

a=b=c,（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0,
所以a=b=c是错误的
解:已知a、b、c为实数，a^2+b^2+c^2=9
设y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
则
y=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2*(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)
=2*9-2(ab+bc+ac)
=18-2(ab+bc+ac)
分析：要y有最大值，则（ab+bc+ac）必须是负数，而且a、b、c中，必有一个为0
设c=0，a>0,b<0，则ab<0,问题变为求|ab|的最大值
a^2+b^2=9
2ab≤a^2+b^2
2|ab|的最大值=a^2+b^2=9
可知a=-b时，即a=√（9/2），b=-√（9/2），c=0时
y有最大值=18+9=27
检验：
y的最大值=（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=6a^2=6*9/2=27
答：（a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值=27