Question

高一数学几何

Answer 1

证明一下圆锥的体积是与它等地等高圆柱的1/3
除了倒沙子、倒水之外。
能不能科学点？
积分。
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。
会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。
圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r
=
Rh/H。
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。
直径：半径乘2
圆柱的表面积:半径的平方乘3.14乘2+直径乘3.14乘高
圆柱的体积：半径的平方乘3.14乘高
底面周长：直径乘3.14
周长求半径：周长除以3.14除以2（圆锥也一样）
半径求周长：半径乘2乘3.14（圆锥也一样）
圆柱体积求周长：体积除以高，然后除以3.14除以2
圆锥体积求周长：体积乘2除以高，然后除以3.14除以2
圆锥体积：半径的平方乘3.14乘高除以3

Answer 2

把圆锥沿高分成k分
每份高
h/k,
第
n份半径：n*r/k
第
n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第
n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2*
k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3

Answer 3

1)证明：a∥b,则a,b可以确定一个平面α
直线L
与a,b相交于A，B,则A、B在平面α内，一条直线L有两点在α内，则直线L在α内
也就是说b与L确定平面α
b∥c,则b,c可以确定一个平面β
直线L
与b,c相交于B,C则B,C在平面β内，一条直线L有两点在β内，则直线L在β内
也就是说b与L确定平面β
b与L相交，所以只能确定一个平面，所以α和β重合
综上所述，四条直线a，b，c，L
必共面
2）取BD中点M，连接EM,FM
则EM,FM分别是△ABD和△BCD的中位线
EM=1,FM=3/2,而且EM∥AD,FM∥BC，所以AD，BC所成角就是∠EMF或者它的补角x
EM=1,FM=3/2,EF=根号3
cosx=1/12
AD，BC所成角x=arc
cos1/12

Answer 4

（1）因为a⁄⁄b，所以a、b可以确定一个平面M
又因为A和B在M上又在L上，所以L
也在M
上。
（因为一直线上的两点在一平面上那么这条直线就在这个平面上）
证c也在M上时用反证法
假设c不在M上
因为c过点C，点C在M上
所以c与a和b是异面直线
（过平面上一点与平面上不过该点的直线为异面直线）
与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立
即c也在M
上
所以四线共面
（2）去AC的中点M，连接EM,FM
则EM=FM=1且EM⁄⁄BC,FM⁄⁄AD
即求EM和FM的夹角
在三角形EFM中可求得角EMF=120
0
所以夹角为60
0

Answer 5

1.因为直线L在平面是，L上的A、B、C三点也在同一平面，又A、B、C是L与直线a、b、c的交点，且三直线平行，所以，四直线必共面