Question

求这道行列式的具体解法

Answer 1

解:
D
=
r1+r2+...+rn
[所有行加到第1行]
2n-1
2n-1
...
2n-1
2n-1
1
1
...
n
1
...
...
1
n
...
1
1
n
1
...
1
1
第1行提出
(2n-1)
D
=
(2n-1)*
1
1
...
1
1
1
1
...
n
1
...
...
1
n
...
1
1
n
1
...
1
1
ri-r1,i=2,3,...,n
[所以行减第1行]
1
1
...
1
1
0
0
...
n-1
0
...
...
0
n-1
...
0
0
n-1
0
...
0
0
--这是斜上三角行列式
--等于次对角线上元素的乘积
--符号为
(-1)^[n(n-1)/2]
--这是由于列标排列
n(n-1)...21
的逆序数是
(n-1)+(n-2)+...+1
=
n(n-1)/2.
所以
D
=
(2n-1)(-1)^[n(n-1)/2]
(n-1)^(n-1).