Question

设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)(2)=509(4a+511b),求a,b值.

Answer 1

不难验证，509是一个质数，因此2a+b必能被509整除，不妨设
2a+b=509x
(x≥1)
则有，9×(509x)^2=509×(4a+2b+509b)
9×509×x^2=2×509x+509b
9×x^2=2x+b
b=x(9x-2)
把b代入2a+b=509x
，得
2a+x(9x-2)=509x
即
a=x(511-9x)/2
，【注：由511-9x>0知，x最大只能取到56】
观察上式，当3≤x≤56时，a一定是个合数，所以x只能取2或1
当x取2时，a=493=17×29，仍是合数，舍弃。
当x=1时，a=(511-9×1)/2=251,经验证251是质数
进而求得b=1×(9×1-2)=7
这是更详细的解法。

Answer 2

509是
质数
,2a+b为509的整数倍,设2a+b=509K（K为整数）
代入,得:9KK*509*509=509(509b+2*509k)
9KK=b+2K=509K-2a+2K
2a=(511-9K)k
因为a是质数，所以K=1或511-9K=1（K不等于整数，排除）或K=2(a=493=17*29,非质数,排除)或511-9K=2(K非整数,排除)
所以K=1,a=251,b=509-2*251=7

Answer 3

2a+b=509
4a+511b=509X9
a=251,b=7