Question

求y=arccosx在x=0时的n阶导数

Answer 1

求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。主要是利用表达式的唯一性。一方面，由定义，f（x）＝arctanx
的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0）
/
n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。另一方面，f
'
（x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/
（2n＋1）比较两个表达式中x^n的系数，得：当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0；当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m×
（2m）

Answer 2

先求一次导数,有f'(x)=1/(1+x*2),就是f'(x)(1+x*2)=1,然后两边取n次导数,左边用莱布尼茨公式,有（1+x*2)的三次及三次以上的导数都是零了,所以就可以写成f(n+1)(x)(1+x*2)+nf(n)(x)2x+n(n-1)f(n-1)(x)=0,把0带入上面的式子,就有f(n+1)(0)=-n(n-1)f(n-1)(0),然后求出f(0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0,然后递推,结果就有了.这里的莱布尼兹公式不能忘了.