Question

初等函数在其定义域内是否一定可导？

Answer 1

初等函数在定义域内一定连续,但不一定可导!举例如下:y=|x|就是y=sqrt(x^2),它是基本初等函数y=sqrt(u)和u=x^2的复合函数,是初等函数。(其中x^2表示x的平方,sqrt(x)表示x的算术平方根)；但y=|x|在x=0点处的左导数为-1,右导数为1,因此该函数在x=0处不可导!另举反例:y=x^(1/3)(即x的立方根)是基本初等函数,但在x=0处不可导!

Answer 2

楼上对初等函数阐述得很详细,可惜美中不足的是对函数连续与可导的关系没弄清楚,可导函数一定连续,但连续函数却不一定可导.
举个简单的例子:y=√(x^2)=|x|,显然y=|x|是初等函数,并且y=|x|在定义域内连续,但y=|x|在x=0处却不可导.
因此初等函数在其定义域内不一定可导