Question

1+1/2+1/3+……+1/n=?

Answer 1

当n→∞时
1+1/2+1/3+..+1/n≈lnn+C(C=0.57722..一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)
这个是调和数列
基本只有在搞专业数学研究时才会用到
所以没有什么求和方法
比较浅显的证明方法
1/2≥1/2
1/3＋1/4＞1/2
1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
……
1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2
必然能够找到k，使得
1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/2^k＞a
所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋
…
＋1/n→∞

Answer 2

利用不等式x>ln(1+x)
由于
S=1+1/2+1/3+....
>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)
=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)
=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n)
当n趋于无穷时,可知1+1/2+1/3+...>ln(1+n),而后者趋于无穷,前者又大于后者,所以,也必趋于无穷.