Question

谁是数学系的？帮忙解释一下复变函数中“没有一个半平面包括无穷远点”这句话，太纠结了，帮帮忙！

Answer 1

将复平面视为一个球面的一部分是有用的。给定一个单位半径球面，使复平面穿过其正中间，这样球的中心与复平面的原点
z=0
重合，球面上的赤道与平面的单位圆重合。
我们可以将球面上的点与复平面建立如下一一对应。给定平面上一点，连接这一点与球面的北极之直线与球面恰好交于另一点。点
z=0
将投影到球面的南极。因为单位圆周的内部在球面内，整个区域（|z|
<
1）将映到南半球。单位圆周自己（|z|
=
1）映到赤道，而单位圆周的外部（|z|
>
1）将映到北半球。显然这个过程是可逆的——给定任何球面上的不为北极的点，我们连接这一点与北极，与平面恰好交与一点。
在这个球极平面投影中只北极这一点，不能对应到复平面上任何一点。我们将其变成一一对应，添加一个理想的点——所谓的无穷远点——到复平面上，使其与球面的北极对应。复平面添加一个无穷远点这个拓扑空间，称为扩充复平面。这就是数学家在讨论复分析时为什么说单个无穷远点。在实数轴上有两个无穷远点，但扩充复平面上只有一个（北极）无穷远点。
想象一下球面上的经线和纬线投影到平面上会变成什么。平行于赤道的所有纬线，它们将变为以原点
z=0
为圆心的圆周；而经线将变为经过原点的直线（从而也经过无穷远点，因为它们在球面上同时经过北极和南极）。
这不是从球面到平面惟一的球极平面投影。例如，球面的南极点可能置于平面的原点
z=0
之上，球面于平面在这一点相切。细节事实上并不重要，任何球面到平面的球极投影都将产生一个无穷远点，球面上的纬线与经线将分别映成平面上的圆周与直线。
就是说明了一个很简单的问题，“半球面本身不能够包含投影”