Question

三重积分问题？

Answer 1

三题都作变换: x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu.
1.原式=∫<0,2π>du∫<0,1>dz∫<0,z>(rcosu+r)rdr
=∫<0,2π>du∫<0,1>(1/3)(cosu+1)z^3dz
=(1/12)∫<0,2π>(cosu+1)du
=π/6.
2.原式==∫<0,2π>du∫<0,2>rdr∫<r,2>(1+r)dz
=∫<0,2π>du∫<0,2>r(1+r)(2-r)dr
=∫<0,2π>du∫<0,2>(2r+r^2-r^3)dr
=2π（4+8/3-4）
=16π/3.
3.原式=∫<0,2π>du∫<0,√2>rdr∫<0,2-r^2>(rsinu+z)dz
=∫<0,2π>du∫<0,√2>r[r(2-r^2)sinu+(1/2)(2-r^2)^2]dr
=∫<0,2π>du∫<0,√2>[(2r^2-r^4)sinu+(1/2)(4r-4r^3+r^5)]dr
=∫<0,2π>{[(4/3)√2-（4/5）√2]sinu+(1/2)(4-4+4/3)}du
=4π/3.
余下部分留给您练习，可以吗？