Question

怎样证明y=xcosx 是不是周期函数

Answer 1

证明：

假设y＝xcosx是周期函数。

因为周期函数有：

f（x＋T）

＝f（x）xcosx

＝（x＋T）cos（x＋T）

＝xcosx＊cosT－xsinx＊sinT＋Tcosx＊cosT－Tsinx＊sinT

所以cosT＝1T＝kπ／2－xsinx＊sinT＋Tcosx＊cosT－Tsinx＊sinT

＝0－xsinx＊sinT－Tsinx＊sinT

＝0（x＋T）sinx＊sinT

＝0

只能是sinT＝0

T＝kπ和T＝kπ／2矛盾所以不是周期函数。

对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。

扩展资料

举例：

设y=x*sinx是周期函数，且周期是a，则有：

x*sinx=(x+a)sin(x+a)=(x-a)sin(x-a)

由后面的式子，化简得：

x(sin(x+a)-sin(x-a))=-a(sin(x-a)+sin(x+a))

2xcosxsina=-2asinxcosa

即 xcosx/sinx=-acosa/sina

右边是一定值，左是关于x的函数，不可能是一定值。

所以原假设不成立，却a不可能是y=x*sinx的周期，原函数不可能是周期函数。

Answer 2

y=xcosx不是周期函数
证明：假设y=xcosx是周期函数，
因为周期函数有f(x+T)=f(x)
xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT
所以cosT=1
T=kπ/2
-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0
-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0
(x+T)sinx*sinT=0
只能是sinT=0
T=kπ和T=kπ/2矛盾
所以不是周期函数

Answer 3

反证法：
假设f(x)=y=xcosx
是周期函数，周期为t
f(x+t)=(x+t)cos(x+t)=f(x)=xcosx
令x=0
tcost=0→t=2kπ
f(x+2kπ)=(x+2kπ)cos(x+2kπ)=xcosx+2kπcos(x+2kπ)≠f(x)
与假设矛盾
∴y=xcosx
不是周期函数