Question

椭圆与直线公式

Answer 1

证明：不妨设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(此时易得右焦点f(c,0)),设直线经过椭圆的右焦点f，则此直线的方程可设为x=my+c(此直线不能表示为x轴，而为x轴时三点共线不合题意)
设a(x1,y1),b(x2,y2)(并且假设y2>y1即b在a上方)
联立直线x=my+c与椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得到
(my+c)^2/a^2+y^2/b^2=1
整理得到b^2(my+c)^2+a^2y^2=a^2b^2
亦即(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy+b^2(c^2-a^2)=0[注意到c^2-a^2=-b^2,椭圆的性质]
即上式简化为(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2cmy-b^4=0
我们知道a,b就是直线与椭圆的交点，于是易得y1,y2是上式的两个根(这点你应该也知道)
韦达定理有y1+y2=-2b^2c/(a^2+b^2m^2)……………………(1)[令t=a^2+b^2m^2]
y1*y2=-b^4/(a^2+b^2m^2)………………………………(2)
下面来表示∠aob(我们选择倒角公式，这个不知道可去看书本)
kob=y2/x2,koa=y1/x1
tan∠aob=(kob-koa)/1+koa*kob=(y2/x2-y1/x1)/1+y2y1/x1x2
整理得到tan∠aob=(x1y2-x2y1)/(x1x2+y1y2)
下面便是考验你的计算能力的时候到了。
x1y2-x2y1=(my1+c)y2-(my2+c)y1=c(y2-y1)
x1x2+y1y2=(my1+c)(my2+c)+y1y2=m^2y1y2+cm(y1+y2)+c^2+y1y2
=(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)
=(m^2+1)[-b^4/(a^2+b^2m^2)]+cm[-2b^2c/(a^2+b^2m^2)]
=1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]
而(y2-y1)^2=(y2+y1)^2-4y1y2
=(-2b^2c/t)^2-4(-b^4/t)
=4b^4c^2/t^2+4b^4/t
于是tan∠aob=√
4b^4c^2/t^2+4b^4/t/[1/t[-m^2b^4-b^4-2b^2c^2m]][注意这里要看清楚]
即(tan∠aob)^2=(y2-y1)^2/[(m^2+1)y1y2+cm(y1+y2)]^2
=
(下面的自己接下去按着思路做，把它化为函数，再求最值，容易求出是当oa=ob时取得)

Answer 2

简单计算一下，详情如图所示

Answer 3

椭圆中点弦的一般性结论：
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),（x1≠x2）
∴有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
（x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
∵p（x0，y0）为中点,∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴2x0(x1-x2)/a^2+2y0(y1-y2)/b^2=0
∴x0/a^2+（y0/b^2）×k=0（其中k=(y1-y2)/
(x1-x2)为中点弦所在直线的斜率）
∴k=(-b^2x0)/(a^2y0)
……这是个重要结论，要记住。
过椭圆x^2/40+y^2/10=1内的一点M(4,-1),若AB被M平分,求AB
的弦长
【解】原方程即为：
x^2+4y^2=40
设A(x1,y1)
B(x2,y2)
作差有：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
即,(x1+x2)+4(y1+y2)k=0
又x1+x2=8,y1+y2=-2
即k=1
所以AB所在直线方程为:y=x-5
将y=x-5与x^2+4y^2=40联立得：
x^2+4(x-5)^2=40,
5
x^2-40x+60=0,
x^2-8x+12=0,
x=2或6，
所以两个交点为(2,-3),(6,1),
|AB|=4√2.