Question

幂函数的性质

Answer 1

幂函数y＝x^α重点是α＝±1，±2，±3，±1/2.
1.
α=0.
y=x^0.
图象：过点（1，1），平行于x轴的直线一条（剔去点（0，1））.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函数
2.
α∈Z＋.
①α＝1
y=x
图象：过点（1，1），一、三象限的角平分线（包含原点（0，0））.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：.
（－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
②α＝2
y=x^2
图象：过点（1，1），抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：.
[0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0]，增区间[0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝2n,
n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
③α＝3
y=x^3
图象：过点（1，1），立方抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：.
（－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝2n＋1,
n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
3．α是负整数。
①α＝－1
y=x^(-1).
图象：过点（1，1），双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：.
（－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。
②α＝－2
y=x^（－2）。
图象：过点（1，1），分布在一、二象限的拟双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（0，＋∞）
单调性：增区间（－∞，0），减区间（0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝－2n,
n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
③α＝－3
y=x^（－3）
图象：过点（1，1），双曲线型.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－2n＋1,
n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
4．α是正分数。
①α＝1/2.
y=x^(1/2)=√x.
图象：过点（1，1），分布在一象限的抛物线弧（含原点）。
定义域：[0，＋∞）.
值域：[
0，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝（2n＋1）/（2m）,
m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
②α＝1/3.
y=x^(1/3)
图象：过点（1，1），与立方抛物线y＝x^3关于直线y＝x对称。.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：.
（－∞，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝（2n－1）/（2m＋1）,
m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
5．α是负分数。
①α＝－1/2.
y=x^(－1/2)=1/√x.
图象：过点（1，1），只分布在一象限的双曲线弧。
定义域：（0，＋∞）.
值域：（
0，＋∞）.
单调性：减函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝－（2n－1）/（2m）,
m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。
②α＝－1/3.
y=x^(－1/3)=1/(3)√x.
图象：过点（1，1），双曲线型。
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－（2n－1）/（2m＋1）,
m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质