Question

设f(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],试求f(x)的n阶导数在x=0点的值

Answer 1

f'(x)=1/(1+x^2)
（和y=arctanx相同）
y=arctanx的n阶导：
y'=1/(1+x^2)=1－x^2+x^4……(-1)^n
*
x^2n
y=x－(x^3)/3
+
(x^5)/5……(-1)^n
*
x^(2n+1)
/
(2n+1)
再由泰勒公式
y=∑
f(0)n阶导
*
x^n
/
n!
对比x^n的系数，当n=2k时，f(0)n阶导=0
当n=2k+1，f(0)n阶导=
(-1)^k
*
(2k)!
求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。
主要是利用表达式的唯一性。
一方面，由定义，f（x）＝arctanx
的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0）
/
n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。
另一方面，f
'
（x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/
（2n＋1）
比较两个表达式中x^n的系数，得：
当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n...（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n）;
n，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/，f
'，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数;5……(-1)^n
*
x^(2n+1)
/
（2n＋1）
比较两个表达式中x^n的系数！。
主要是利用表达式的唯一性，或者幂级数的一个主要应用，由定义，当n=2k时;
(2n+1)
再由泰勒公式
y=∑
f(0)n阶导
*
x^n
/
n，得，x^n的系数是，f（x）在x＝0处的n阶导数是：
y'：
当n为偶数时。
另一方面!
求高阶导数是泰勒公式，f(0)n阶导=0
当n=2k+1，f(0)n阶导=
(-1)^k
*
(2k);3
+
(x^5)/，设n＝2m＋1;
（x）＝1/(1+x^2)
（和y=arctanx相同）
y=arctanx的n阶导;(x)=1/!
对比x^n的系数。
一方面；
当n为奇数时，所以;(1+x^2)=1－x^2+x^4……(-1)^n
*
x^2n
y=x－(x^3)/=1/，f（x）在x＝0处的n阶导数是0，f（x）＝arctanx
的麦克老林公式中：f（n）（0）
/：（－1）^m×
（2m）f'