Question

在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=λan+λ^(n+1)+(2-λ)2^n(n属于N*),λ

Answer 1

a(n+1)=λan+λ^(n+1)+(2-λ)2^n……①

a(n+1)/λ^（n+1）=an/λ^（n）+1+(2/λ-1)(2/λ)^（n）

a(n+1)/λ^（n+1）-(2/λ)^（n+1）=an/λ^（n）-(2/λ)^（n）+1

设B(n)=an/λ^（n）-(2/λ)^（n）

则B(n+1)=B(n)+1

故B(n)为首项为B1，公差为1的等差数列

B(1)=a1/λ-2/λ=0

B(n)=n-1

所以an/λ^（n）-(2/λ)^（n）=n-1

an=[n-1+(2/λ)^（n）]λ^（n）=(n-1)λ^（n）+2^n

设Kn=0+λ+2λ^2+3λ^3+…+(n-1)λ^n

则λK(n）=λ^2+2λ^3+…+(n-2)λ^(n)+(n-1)λ^(n+1)

(1-λ)*K(n)=λ+λ^2+λ^3+…+λ^n-(n-1)λ^(n+1)

=λ（1-λ^n）/(1-λ)-(n-1)*λ^(n+1)

K(n)=λ（1-λ^n）/(1-λ)^2-[(n-1)*λ^(n+1)]/((1-λ)

设Ln=2+2^2+2^3+…+2……2^n

则Ln=2(1-2^n)/(1-2)=2(2^n-1)

故Sn=Kn+Ln=λ（1-λ^n）/(1-λ)^2-[(n-1)*λ^(n+1)]/((1-λ)+2(2^n-1)

设λ=2，则an=n2^n

an+1/an=2(n+1)/n≤4=a2/a1，

即若λ=2，则存在K=1时，a(n+1)/an≤a2/a1

得证。