Question

设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0， lim x→0 f″(x) /x ＝1，则（

Answer 1

f
′
(a)=0,f
′′
(a)≠0
只是f(x)
在x=a
处取极值的充分条件,非必要条件.
比如f(x)=x^4
,有f
′
(0)=f
′′
(0)=0
但在
x=0
处显然是取极小值.
就这题而言：
因lim(x→0)
f
′′
(x)
/
|x|
=1
,由局部保号性有,
存在一去心邻域U°
(0,δ)
,使得对在这个去心邻域内有
f
′′
(x)
/
|x|
>
1
/
2
所以有f
′′
(x)>
|x|
/
2
>0
,而由连续性有f
′′
(0)=0
去是,在邻域U°(0,δ)
内有f
′′
(x)≥0
,且只x=0
处f
′′
(x)=0
于是f
′′
(x)
在邻域U°(0,δ)
内严格单增
于是在该邻域内有xf
′
(0)=0
,
导数是由负变正,所以取极小值.