Question

已知椭圆C;x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,根号2/2)在椭圆上,

Answer 1

已知椭圆c;x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点为f(1,0),且点(-1,√2/2)在椭圆上（2）已知直线l过点f，且与椭圆交于a.b两点，试问x轴上是否存在定点q，使得向量qa•qb=-7/16恒成立。若存在求出q点坐标
解：c=1；将点(-1，,√2/2)代入椭圆方程得：1/a²+1/(2b²)=1.........(1)；a²-b²=1............(2)
由(1)得2b²+a²=2a²b²，将a²=b²+1代入得2b²+b²+1=2(b²+1)b²，2b⁴-b²-1=(2b²+1)(b²-1)=0，
故得b²=1，a²=2，于是得椭圆方程为x²/2+y²=1.即x²+2y²-2=0.
设过右焦点f(1，0)的直线方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程得x²+2k²(x-1)²-2=0，
化简得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0；设a(x₁，y₁)，b(x₂，y₂)；依维达定理，可知：
x₁+x₂=4k²/(1+2k²)；x₁x₂=2(k²-1)/(1+2k²)；
y₁y₂=k²(x₁-1)(x₂-1)=k²[x₁x₂-(x₁+x₂)+1]=k²[2(k²-1)/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1]=-k²/(1+2k²)；
设q(m，0)；那么qa=(x₁-m，y₁)；qb=(x₂-m，y₂)；
于是qa•qb=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+y₁y₂
=2(k²-1)/(1+2k²)-4mk²/(1+2k²)+m²-k²/(1+2k²)=[(2m²-4m+1)k²+m²-2]/(1+2k²)..........(3)
令m²-2=-7/16..........(4)，得m²=2-7/16=25/16，故得m=5/4；
此时2m²-4m+1=50/16-5+1=50/16-4=-14/16............(5)；
将(4)和(5)代入(3)式得[(-14/16)k²-7/16]/(1+2k²)=-(7/16)(2k²+1)/(1+2k²)≡-7/16。
即x轴上存在一定点q(5/4，0)使得qa•qb=-7/16【即此时qa•qb的值与直线y=k(x-1)的斜率无关】.

Answer 2

解：由题意知a^2-b^2=1
，将点（-1，√2/2）代入椭圆方程得1/a^2+1/2b^2=1
解得，椭圆方程为
x^2/2+y^2=1
设点A（x1，y1），B（x2,y2），则QA=（x1-5/4,y1），QB=（x2-5/4,y2）
（1）若直线l斜率为零，点A,B分别为
（-√2，0）（√2，0）
此时向量之积为-7/16
（2）若直线斜率不为0，则设直线方程为x=ky+1
与椭圆方程联立，得，（k^2+2）y^2+2ky-1=0
则有y1+y2=-2k/(k^2+2)
y1·y2=-1/(k^2+2)
则x1+x2=k(y1+y2)+2
x1·x2=k^2y1·y2+k(y1+y2)+1
则有，QA·QB=（k^2+1）y1·y2-k/4(y1+y2)+1/16
=-(k^2+1)/(k^2+2)+k/4·2k/(k^2+2)+1/16
=-7/16
综上所述，两向量之积为定值，-7/16