Question

已知f(x)是R上的任意函数，判断奇偶性 H（x）=f(x)|f(-x)|

Answer 1

f(x)是任意函数，
不放设f(x)是
奇函数
，则此等式不成立
函数定义域
是R，即关于
原点对称
，符合判定
奇偶性
的前提
因为H(-x)=f(-x)|f(x)|
而H(x)=f((x)|f(-x)|
(1)若H(x)是奇函数，则f(-x)|f(x)|=-f(x)|f(-x)|，f(x)是任意函数，
不放设f(x)是
偶函数
,且不为0，且不为0，则此等式不成立，同样无法判定是偶函数
综上，所以无法判定是奇函数
(2)若H(x)是偶函数，则f(-x)|f(x)|=f(x)|f(-x)|

Answer 2

h(x)-h(-x)=f(x)|f(-x)|
-
f(-x)|f(x)|
①当f(-x)>0
f(x)>0时
即为f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=0
所以h(x)为偶函数
②当f(-x)>0
f(x)<0时
即f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=2f(x)f(-x)
此时h（x）为奇函数
③当f(-x)<0
f(x)<0时
即-f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=0
此时h（x）为偶函数
④当f(-x)<0
f(x)>0时
即-f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=-2f(x)f(-x)
此时h(x)为奇函数

Answer 3

代值是没有用的，因为f(x)是任意函数，所以可能没有对称轴（一次函数），故非偶，其可能不过原点，则不为奇函数（奇函数f(0)=0,除非限制定义域），所以H(x)非奇非偶