3个回答
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f(x)是任意函数,
不放设f(x)是
奇函数
,则此等式不成立
函数定义域
是R,即关于
原点对称
,符合判定
奇偶性
的前提
因为H(-x)=f(-x)|f(x)|
而H(x)=f((x)|f(-x)|
(1)若H(x)是奇函数,则f(-x)|f(x)|=-f(x)|f(-x)|,f(x)是任意函数,
不放设f(x)是
偶函数
,且不为0,且不为0,则此等式不成立,同样无法判定是偶函数
综上,所以无法判定是奇函数
(2)若H(x)是偶函数,则f(-x)|f(x)|=f(x)|f(-x)|
不放设f(x)是
奇函数
,则此等式不成立
函数定义域
是R,即关于
原点对称
,符合判定
奇偶性
的前提
因为H(-x)=f(-x)|f(x)|
而H(x)=f((x)|f(-x)|
(1)若H(x)是奇函数,则f(-x)|f(x)|=-f(x)|f(-x)|,f(x)是任意函数,
不放设f(x)是
偶函数
,且不为0,且不为0,则此等式不成立,同样无法判定是偶函数
综上,所以无法判定是奇函数
(2)若H(x)是偶函数,则f(-x)|f(x)|=f(x)|f(-x)|
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h(x)-h(-x)=f(x)|f(-x)|
-
f(-x)|f(x)|
①当f(-x)>0
f(x)>0时
即为f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=0
所以h(x)为偶函数
②当f(-x)>0
f(x)<0时
即f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=2f(x)f(-x)
此时h(x)为奇函数
③当f(-x)<0
f(x)<0时
即-f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=0
此时h(x)为偶函数
④当f(-x)<0
f(x)>0时
即-f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=-2f(x)f(-x)
此时h(x)为奇函数
-
f(-x)|f(x)|
①当f(-x)>0
f(x)>0时
即为f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=0
所以h(x)为偶函数
②当f(-x)>0
f(x)<0时
即f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=2f(x)f(-x)
此时h(x)为奇函数
③当f(-x)<0
f(x)<0时
即-f(x)f(-x)+f(-x)f(x)=0
此时h(x)为偶函数
④当f(-x)<0
f(x)>0时
即-f(x)f(-x)-f(-x)f(x)=-2f(x)f(-x)
此时h(x)为奇函数
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代值是没有用的,因为f(x)是任意函数,所以可能没有对称轴(一次函数),故非偶,其可能不过原点,则不为奇函数(奇函数f(0)=0,除非限制定义域),所以H(x)非奇非偶
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