Question

证明:当x>0时,1+x/2>√(1+x)

Answer 1

设函数y=（1+x）ln(1+x)-x
求导得：y的导=（1+x）*（1/(1+x)）+ln(1+x)-1=ln(1+x)
很显然在x>0时，ln(1+x)>0恒成立，所以函数y在x>0时为增函数。
现在考虑初值x=0时，y=0
所以在x>0时，y>0，
即当x>0时，（1+x）ln(1+x)>x

Answer 2

构造函数F=1+x/2-√(1+x)
对其求导
F'=1/2-1/(2*√(1+x))
=1/2(1-1/√(1+x))
当x>0时√(1+x)<1
所以F'>0,F为增函数
又F(0)=1-1=0
所以x>0时F>0
得证1+x/2>√(1+x)