Question

通过点M1(1,-5,1)和M2(3,2,-2) 且垂直于XOY坐标面的平面，求平面坐标式方程

Answer 1

由题知：所求平面平行于z轴和向量M1M2,所以所求平面一定平行于向量（0，0，1）和（2，7，-3），所以平面法向量为n=（0，0，1）*（2，7，-3）=（-7，2，0），所以平面方程为-7(x-3)+2(y-2)+0(z+2)=0,化简得：-7x+2y+17=0
已知平面法向量（a,b,c)和平面上一点（x1,y1,z1），则此平面方程为a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0
搞定啦。xOy平面的表达式是z=0，
所以xOy平面的法向量为Ψ（0,0,1）
M1M2形成的向量为：（2,7,-3）
设所求平面的法向量为：n（a，b，c）
则向量n垂直于向量m1m2且向量n垂直于向量Ψ
则得：
2a+7b-3c=0
（1）
c=0
（2）
解得：a=-3.5b
则：-3.5bx+by+D=0
把M1代入，得：
-3.5b-5b+D=0
则D=8.5b
所以-3.5bx+by+8.5b=0
解得：7x-2y-17=0

Answer 2

由题知：所求平面平行于z轴和向量m1m2,所以所求平面一定平行于向量（0，0，1）和（2，7，-3），所以平面法向量为n=（0，0，1）*（2，7，-3）=（-7，2，0），所以平面方程为-7(x-3)+2(y-2)+0(z+2)=0,化简得：-7x+2y+17=0
已知平面法向量（a,b,c)和平面上一点（x1,y1,z1），则此平面方程为a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0