已知函数f(X)=X^2-2X-8,g(X)=2x^2-4x-16,求不等式g(x)<0的解集
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(1)g(x)=2x2-4x-16<0,
(2x+4)(x-4)<0,
-2<x<4,
不等式g(x)<0的解集为{x|-2<x<4}.
(2)f(x)=x2-2x-8.
当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
对一切x>2,均有不等式x2-4x+7/
x-1
≥m成立.
而x2-4x+7
/x-1
=(x-1)+4
/x-1
-2≥2√
(x-1)×4
x-1
-2=2(当x=3时等号成立)
x>2,
实数m的取值范围是(-∞,2].
(2x+4)(x-4)<0,
-2<x<4,
不等式g(x)<0的解集为{x|-2<x<4}.
(2)f(x)=x2-2x-8.
当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,
即x2-4x+7≥m(x-1).
对一切x>2,均有不等式x2-4x+7/
x-1
≥m成立.
而x2-4x+7
/x-1
=(x-1)+4
/x-1
-2≥2√
(x-1)×4
x-1
-2=2(当x=3时等号成立)
x>2,
实数m的取值范围是(-∞,2].
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g(x)=2(x^2-2x-8)=2(x-4)(x+2)<0
所以不难看出g(x)<0的解集(-2,4)
f(x)>=(m+2)x-m-15
x^2-2x-8>=(m+2)x-m-15
x^2-(m+4)x+m+7>=0
另p(x)=x^2-(m+4)x+m+7
所以只要让p(x)在(2,正无穷)上>=0就可以了
分类讨论
(一)判别式<0时,p(x)恒大于0
解得判别式=m^2+8m+16-4m-28=m^2+4m-8=(m+2)^2-12
很容易看出判别式恒小于0
所以第二种情况都不用讨论了
m取值范围是R
所以不难看出g(x)<0的解集(-2,4)
f(x)>=(m+2)x-m-15
x^2-2x-8>=(m+2)x-m-15
x^2-(m+4)x+m+7>=0
另p(x)=x^2-(m+4)x+m+7
所以只要让p(x)在(2,正无穷)上>=0就可以了
分类讨论
(一)判别式<0时,p(x)恒大于0
解得判别式=m^2+8m+16-4m-28=m^2+4m-8=(m+2)^2-12
很容易看出判别式恒小于0
所以第二种情况都不用讨论了
m取值范围是R
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g(x)=2(x^2-2x-8)=2(x-4)(x+2)<0
所以不难看出g(x)<0的解集(-2,4)
f(x)>=(m+2)x-m-15
x^2-2x-8>=(m+2)x-m-15
x^2-(m+4)x+m+7>=0
另p(x)=x^2-(m+4)x+m+7
所以只要让p(x)在(2,正无穷)上>=0就可以了
分类讨论
(一)判别式<0时,p(x)恒大于0
解得判别式=m^2+8m+16-4m-28=m^2+4m-8=(m+2)^2-12
很容易看出判别式恒小于0
所以第二种情况都不用讨论了
m取值范围是R
所以不难看出g(x)<0的解集(-2,4)
f(x)>=(m+2)x-m-15
x^2-2x-8>=(m+2)x-m-15
x^2-(m+4)x+m+7>=0
另p(x)=x^2-(m+4)x+m+7
所以只要让p(x)在(2,正无穷)上>=0就可以了
分类讨论
(一)判别式<0时,p(x)恒大于0
解得判别式=m^2+8m+16-4m-28=m^2+4m-8=(m+2)^2-12
很容易看出判别式恒小于0
所以第二种情况都不用讨论了
m取值范围是R
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f(x)+g(x)>7
解该不等式要考虑以下4种情况
(1)2x-4
x+3
同大于等于0
(2)同小于0
(3)2x-4>=0
x+3<0
(4)2x-4<0
x+3>=0
解以上4种情况:(1)x>8/3(2)x<2(3)x>14(4)x<0
结论:x>8/3
和
x<2
解该不等式要考虑以下4种情况
(1)2x-4
x+3
同大于等于0
(2)同小于0
(3)2x-4>=0
x+3<0
(4)2x-4<0
x+3>=0
解以上4种情况:(1)x>8/3(2)x<2(3)x>14(4)x<0
结论:x>8/3
和
x<2
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