Question

求级数∑(n=1 ∞)(1╱n)x∧n的收敛域,以及在收敛域内的和函数

Answer 1

收敛域是[-1,1)，和函数是-ln(1-x)。
an=1/n，a(n+1)/an=n/(n+1)→1(n→∞)，所以收敛半径是1。x=-1时，幂级数变成∑(-1)^n/n，收敛。x=1时，幂级数变成∑1/n，发散。所以收敛域是[-1,1)。
设和函数是S(x)，S(x)=∑x^n/n，逐项求导得S'(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)，积分得S(x)=-ln(1-x)。

Answer 2

用柯西判别法可以判断收敛半径为1，另外在1处显然发散，在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛，所以收敛域为[-1，1），令s=∑(∞,n＝1)x∧n/n，则s
′=∑(∞,n＝1)x∧(n-1)=1/(1-x)所以s=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+c，由s(0)=0可知c=0，所以s=-ln(1-x)（端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子）