证明题:设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1]使∫(0,1)f(x)dx=1/2f′(ξ)

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令 F(x) = f(x) - x,    F(0) > 0, F(1) < 0,   F(x)在[0,1]上可导=>连续。

故至少在(0,1)内有一点ξ,使得 F(ξ) = 0,  即 f(ξ) = ξ。

下面用反证法证明 ξ 只有一个。

假设存在ξ1,ξ2∈(0,1) ,  F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0。

罗尔中值定理,必存在 η ∈(ξ1,ξ2),  F '(η) = f '(η) - 1 = 0  

=>  f '(η) = 1  这与 f(x)的导数不为1 矛盾,假设错误。

因此在(0,1)内有唯一点,使得 f(ξ) = ξ。

导数发展

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展,在前人创造性研究的基础上,大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”,他称变量为流量,称变量的变化率为流数,相当于我们所说的导数。

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》,流数理论的实质概括为:他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程;在于自变量的变化与函数的变化的比的构成。

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F(x)
=
f(x)
-
x,
F(0)
>
0,
F(1)
<
0,
F(x)在[0,1]上可导=>连续,
故至少在(0,1)内有一点ξ,使得
F(ξ)
=
0,

f(ξ)
=
ξ.
下面用反证法证明
ξ
只有一个。
假设存在ξ1,ξ2∈(0,1)
,
F(ξ1)
=0,

F(ξ2)
=
0.
由罗尔中值定理,必存在
η
∈(ξ1,ξ2),
F
'(η)
=
f
'(η)
-
1
=
0
=>
f
'(η)
=
1
这与
f(x)的导数不为1
矛盾,假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点,使得
f(ξ)
=
ξ.
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