Question

如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD于E,交BC与F，连接DF.求证∠ADB=∠CDF。

Answer 1

(请楼主按我写的去画图,估计你应该会明白.)
证明:AB=AC,角BAC=90度,则∠ACB=45°.
过点C作CA的
垂线
,交AF的延长线于M.则∠MCF=∠DCF=45°.
∠ABD+∠BAE=90°;∠CAM+∠BAE=90°.则∠ABD=∠CAM;
又AB=AC;∠BAD=∠ACM=90°.则⊿BAD≌⊿ACM(ASA),得∠ADB=∠M;AD=CM.
又AD=DC,则CM=DC.
又CF=CF;∠DCF=∠MCF.故⊿DCF≌⊿MCF(SAS),得∠CDF=∠M.
所以,∠ADB=∠CDF.(
等量代换
)

Answer 2

作ce⊥ac,交af的延长线于m。
∵af⊥bd，
∴∠abe+∠bae=90度。
∵∠bac=90度，
∴∠ead+∠eab=90度。
∴∠dae=∠abe。
在△acm和△bad中，∠dae=∠abe，ac=ab，∠acm=∠bad=90度。
∴△acm全等△bad，
∴∠m=∠adb，ad=cm。
∵ad=dc，∴cm=cd。在△cmf和△cdf中，cf=cf，∠mcf=∠dcf=45度，cm=cd。
∴△cmf全等△cdf，
∴∠m=∠cdf，
∴∠adb=∠cdf。

Answer 3

证明：过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H．
设AG=1，那么CG=1，DH=，BH=，
tan∠DBH=，
又∠GAF=∠DBH，∴GF=AG=，
FH=GH-GF=-=，
tan∠FDH==
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF=∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF．