Question

已知二次函数y=（x-m）²-（x-m） （1）试说明该二次函数的图像与x轴必有两个交点

Answer 1

y=（x-m）²-（x-m）
=x²-2mx+m²-x+m;
=x²-(2m+1)x+m²+m;
△=(2m+1)²-4(m²+m)
=4m²+4m+1-4m²-4m
=1＞0恒成立；
所以一定有两个交点；
（2）y=(x-(2m+1)/2)²+m²+m-(2m+1)²/4;
所以顶点为((2m+1)/2,m²+m-(2m+1)²/4)
所以(2m+1)/2=5/2;
2m+1=5;
m=2;
n=2²+2-5²/4=-1/4;
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Answer 2

(1)令y=(x-m)²-(x-m)=0
即(x-m)(x-m-1)=0
所以x=m，或x=m+1
所以必有两个交点，
这两个交点分别是(m,0)和(m+1,0)
(2)顶点横坐标为5/2，那么m+(m+1)=5/2×2=5，所以m=2
那么y=(x-2)²-(x-2)
=x²-5x+6
=(x-5/2)²-1/4
所以n=-1/4
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Answer 3

（1）y=x2-（2m+1）x+m2+m，
△=（2m+1）2-4（m2+m）
=1，
∵△＞1，
∴二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）抛物线的顶点坐标为（
2m+1
2
，-
1
4
）
所以
2m+1
2
=
5
2
，n=-
1
4
，
解得m=2，
即m、n的值分别为2，-
1
4
．