Question

这个题怎么解啊 求大神指点

线性代数

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| ， 第 2, 3, 4 列均加到第 1 列，
然后第 1 行的 -1 倍分别加到第 2, 3, 4 行，变为上三角行列式，
则 |A| = (λ+3)(λ-1)^3
当 λ ≠ -3 且 λ ≠ 1 时，|A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 λ = -3 时，增广矩阵 (A, b) =
[-3 1 1 1 1]
[ 1 -3 1 1 1]
[ 1 1 -3 1 1]
[ 1 1 1 -3 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 -3 1]
[ 0 -4 0 4 0]
[ 0 0 -4 4 0]
[ 0 4 4 -8 4]
初等行变换为
[ 1 1 1 -3 1]
[ 0 1 0 -1 0]
[ 0 0 -4 4 0]
[ 0 0 4 -4 4]
初等行变换为
[ 1 1 1 -3 1]
[ 0 1 0 -1 0]
[ 0 0 -4 4 0]
[ 0 0 0 0 4]
r(A, b) = 4, r(A) = 3, 方程组无解。
当 λ = 1 时，增广矩阵 (A, b) =
[ 1 1 1 1 1]
[ 1 1 1 1 1]
[ 1 1 1 1 1]
[ 1 1 1 1 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 1 1]
[ 0 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0 0]
方程组化为
x1 = 1-x2-x3-x4
取 x2 = x3 = x4 = 0， 得特解 (1, 0, 0, 0)^T
导出组 x1 = -x2-x3-x4， 得 Ax = 0 的基础解系
(1, -1, 0, 0)^T， (1, 0, -1, 0)^T， (1, 0, 0, -1)^T
此时原方程组的通解是
x = (1, 0, 0, 0)^T + k1 (1, -1, 0, 0)^T +
+ k2 (1, 0, -1, 0)^T + k3 (1, 0, 0, -1)^T。