Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为2分之根号3，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

Answer 1

不好意思，上面计算的有点错误。
更正如下：
|AB|=√(1
k^2)√[(x1
x2)^2-4x1x2]
=√(1
k^2)√[36k^2b^2/(1
3k^2)^2-4·3(b^2-1)/(1
3k^2)]
=√(1
k^2)√[(36k^2
12-12b^2)/(1
3k^2)^2]
将b^2=3(k^2
1)/4代入
=√(1
k^2)√[(36k^2
12-9(k^2
1))/(1
3k^2)^2]
=√(1
k^2)√[3(9k^2
1)/(1
3k^2)^2]
=√(3
3k^2)√[(9k^2
1)/(1
3k^2)^2]
=√[(3
3k^2)(9k^2
1)]/(1
3k^2)
利用基本不等式
≤[(3
3k^2)
(9k^2
1)]/[2(1
3k^2)]=2
3
3k^2=9k^2
1时取到等号。
此时k=±3.
所以面积最大值是1/2·2·√3/2=√3/2.
k=±√3时取到等号！！！