Question

用定义证明函数y=1+2x/x，当x趋近0时的无穷大。

Answer 1

应该是δ=min{1/2,1/(m+2)}，意思是δ取1/2与1/(m+2)两个数中较小的那个。
要使|(1+2x)/x|=|(1/x)+2|>m，因为|(1/x)+2|≥1/|x|-2，
所以只要1/|x|-2>m，即1/|x|>m+2，即|x|<1/(m+2)，
注意，在应用三角不等式|(1/x)+2|≥1/|x|-2时，我们是假定1/|x|>2的，即|x|<1/2的，否则1/|x|-2是负数，不可能大于正数m的，所以|x|<1/(m+2)与|x|<1/2是应该同时满足的。
以上是δ的一般取法，对于本题，由于在m>0的条件下，总有
1/(m+2)<1/2，所以直接取δ=1/(m+2)是可以的。
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Answer 2

应该是δ=Min{1/2,1/(M+2)}，意思是δ取1/2与1/(M+2)两个数中较小的那个。
要使|(1+2x)/x|=|(1/x)+2|>M，因为|(1/x)+2|≥1/|x|-2，
所以只要1/|x|-2>M，即1/|x|>M+2，即|x|<1/(M+2)，
注意，在应用三角不等式|(1/x)+2|≥1/|x|-2时，我们是假定1/|x|>2的，即|x|<1/2的，否则1/|x|-2是负数，不可能大于正数M的，所以|x|<1/(M+2)与|x|<1/2是应该同时满足的。
以上是δ的一般取法，对于本题，由于在M>0的条件下，总有
1/(M+2)<1/2，所以直接取δ=1/(M+2)是可以的。
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