Question

单调有界函数必有极限吗？

Answer 1

有界却不一定有极限。

函数的极限情形比数列要复杂的多。数列只是在变量n→∞时单调有界则必有极限，而函数的变量变化则分多种情况：x→∞(+∞或-∞)；x→a(a是常数，+a或-a)。左右极限存在但不相等，则函数极限不存在。并且要考虑函数是否存在间断点。

有界函数的简介

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

Answer 2

1.高等数学有一定理：如果数列{Xn}收敛，即数列有极限，那么数列{XN}一定有界。但是有界却不一定有极限，例如数列
1，-1，1，-1，。。。。同样有界函数也不一定有极限，例如
f(x)=sinx
.
2.但是单调有界数列就不同，因为它只能是单调增加或者减少。有界函数的定义是：如果存在着正数M，使得对于一切的Xn都满足不等式：Xn的绝对植《=M。如果有界且单调，数列肯定有极限，就是M。
3。同样的，如果函数有界，函数肯定有极限，就是M。因为是是单调的话，数列与函数的区别不大，就是函数连续而数列不连续而已。