Question

已知f(x)=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在，

Answer 1

已知f(x)=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且f(x)=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）
①求c值，及b,.d的取值范围
②求证：f(1)≥2
③求|β-α|的取值范围，并写出当|β-α|取最小值时f(x)的解析式。
怎么做？详细过程，谢谢。
f(x)=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0,2]上是减函数
f(x)在x=0时有极小值
所以f'(0)=0
f'(x)=3x^2+2bx+c
f’(0)=0
所以
c=0,
f(x)=x^3+bx^2+d=0有根2,α,β,α≤2≤β
8+4b+d=0
f(x)可化为
(x-2)(x^2+mx+n)=x^3+bx^2+d
α+β=-m,α*β=n
m-2=b
n-2m=0,-2n=d
x^2+(b+2)x-d/2=0
x^2+(b+2)x+(4+2b)=0
（b+2）^2-4(4+2b)≥0
b≥6,或b≤-2
又
α≤2≤β
即（α-2）（β-2）≤0
α*β-2（α+β）+4≤0
4+2b-2(-2-b)+4≤0
b≤-3
d=-8-4b≥4
(2)
f(1)=1+b+d=8+4b+d-7-3d=-7-3b≥-7-3*（-2）=2
f(1)≥2
（3）|β-α|=（（β-α）^2）^(1/2)=((α+β)^2-4αβ）^(1/2)
=((-2-b)^2-4(4+2b))^(1/2)=(b^2-4b-12)^(1/2)
=((b-2)^2-16)^(1/2)
因b≤-3，当b=-3时
|β-α|的最小值为3
此时d=-4b-8=-4*(-3)-8=4
f(x)=x^3-3x^2+4

Answer 2

.d的取值范围
②求证,2]上是减函数;2=0
x^2+(b+2)x+(4+2b)=0
（b+2）^2-4(4+2b)≥0
b≥6;(0)=0
f'(x)=3x^2+2bx+c
f’(0)=0
所以
c=0，且f(x)=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）
①求c值，及b：f(1)≥2
③求|β-α|的取值范围;2)
=((-2-b)^2-4(4+2b))^(1/2)=(b^2-4b-12)^(1/2)
=((b-2)^2-16)^(1/,或b≤-2
又
α≤2≤β
即（α-2）（β-2）≤0
α*β-2（α+β）+4≤0
4+2b-2(-2-b)+4≤0
b≤-3
d=-8-4b≥4
(2)
f(1)=1+b+d=8+4b+d-7-3d=-7-3b≥-7-3*（-2）=2
f(1)≥2
（3）|β-α|=（（β-α）^2）^(1/，并写出当|β-α|取最小值时f(x)的解析式。
怎么做？详细过程，谢谢。
f(x)=x³，0]上是增函数,
f(x)=x^3+bx^2+d=0有根2,α,β,α≤2≤β
8+4b+d=0
f(x)可化为
(x-2)(x^2+mx+n)=x^3+bx^2+d
α+β=-m,α*β=n
m-2=b
n-2m=0,-2n=d
x^2+(b+2)x-d/2)=((α+β)^2-4αβ）^(1/，在[0;+cx+d在（-∞已知f(x)=x³+bx²+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0,2]上是减函数
f(x)在x=0时有极小值
所以f'