Question

∫∫(x^2+y^2+z^2)ds s=|x|+|y|+|z|=a

Answer 1

由于积分区域关于三个坐标面对称，由轮换对称性知
∫∫
x²
dS
=
∫∫
y²
dS
=
∫∫
z²
dS
得：原式=3∫∫
z²
dS
再由奇偶对称性，只求第一卦限，然后8倍
原式=24∫∫
z²
dS
其中积分曲面为：x+y+z=a在第一卦限部分
dS=√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]=√3
则：
原式=24∫∫
z²
dS
=24√3∫∫
(a-x-y)²
dxdy
积分区域为x+y+z=a在第一卦限部分在xoy面的投影
=24√3∫[0→a]
dx∫[0→a-x]
(a-x-y)²
dy
=-8√3∫[0→a]
(a-x-y)³
|[0→a-x]
dx
=8√3∫[0→a]
(a-x)³
dx
=-2√3(a-x)^4
|[0→a]
=2√3a^4
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