Question

椭圆的一个焦点到长轴两端的距离之比是1:4,短轴长8求椭圆标准方程

椭圆的一个焦点到长轴两端的距离之比是1:4,短轴长8 求椭圆标准方程

Answer 1

椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
(a>b>0)
2）焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1
(a>b>0)
其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长.
以1)焦点在X轴为例：
“椭圆的一个焦点到长轴两端的距离之比是1:4”,设到两端距离分别为x、4x,则长轴为5x,长半轴长为2.5x.又因为焦点到同轴方向的一端为x,则焦点为2.5x-x=1.5x.
公式中a、b与焦点c的关系为：a^2=b^2+c^2.
则2.5x^2=1.5x^2+(8/2)^2;
解出来得出：x=2.
所以,长半轴长a=5,短半轴长b=4,焦点c=3.
x^2/5^2+y^2/4^2=1；
同理,y轴方程为
y^2/5^2+x^2/4^2=1；