Question

已知A ,B都是n阶矩阵，且E-AB是可逆矩阵，证明E-BA是可逆矩阵。

Answer 1

只要找出一个非零解满足（E-AB）Y
=
0，就可以说明与题设矛盾，
假设E-BA不可逆，则（E-BA）X
=
0
有非零解，则可得
X=BAX。
又
（E-AB）AX
=
AX
-
ABAX
=
AX-AX
=
0，即AX为（E-AB）Y
=
0的一个非零解，由此可证
也有人是这么解得，（好强大的说）
因为E-AB可逆，则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E,则C-CAB=E，
左乘B右乘A，有BCA-BCABA=BA
有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E，根所定义知E-BA可逆

Answer 2

简单计算一下即可，详情如图所示