Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交与点A(-4，0)与y轴交与点B(0，3)，

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与x轴交与点A(-4，0)与y轴交与点B(0，3)，且抛物线的对称轴为直线x=-3╱2。(1)求抛物线的解析式。(2)设P是抛物线上的一个动点，且点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，若以AB为直径的圆恰好与直线PQ相切，求此时点Q的坐标。(3)若点M在抛物线的对称轴上，三角形ABM为直角三角形，求出所有满足条件的M点的坐标

Answer 1

答:图中点B应该是(0,-3)才对吧?
(1)抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a=-3/2，所以:b=3a……(a)
点A(-4,0)和点B(0,-3)代入抛物线方程得:
16a-4b+c=0……(b)
c=-3……(c)
由(a)至(c)三式联立求得:a=3/4，b=9/4，c=-3
所以:抛物线方程为y=3x^2/4+9x/4-3
(2)AB中点为(-2，-3/2)，根据勾三股四弦五得AB=5，故圆方程为(x+2)^2+(y+3/2)^2=25/4
设点P为(p，3p^2/4+9p/4-3)，依据题意知道PQ直线为x=p，PQ和圆相切，即圆心到PQ的距离等于圆半径:|-2-p|=5/2
解得:p=1/2或者p=-9/2
AB直线方程为:y=-3x/4-3
点Q横坐标与点P横坐标相同，把p值代入直线AB得点Q为(1/2，-27/8)或者(-9/2,3/8)
(3)设点M为(-3/2,m)，依据题意知道AB⊥AM或者AB⊥BM或者AM⊥BM，
两直线垂直，它们的斜率乘积为-1。
3.1)当AB⊥AM时:(-3/4)*(m-0)/(-3/2+4)=-1，解得:m=10/3;
3.2)当AB⊥BM时:(-3/4)*(m+3)/(-3/2-0)=-1，解得:m=-5;
3.3)当AM⊥BM时:[(m-0)/(-3/2+4)]*[(m+3)/(-3/2-0)]=-1，解得:m=√6-3/2或者m=-√6-3/2
综上所述，点M为(-3/2,10/3)或者(-3/2,-5)或者(-3/2,√6-3/2)或者(-3/2,-√6-3/2)