Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+...

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（-1）=2． （1）求证：f（x）为奇函数； （2）判断f（x）在R上的单调性（说明理由）；并求函数f（x）在区间[-2，4]上的值域． （3）若对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）在R上单调递减．
证明：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]=-f[（x2-x1），
因为当x＞0时，f（x）＜0，且x2-x1＞0，所以f[（x2-x1）＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）为R上的减函数．
由f（x+y）=f（x）+f（y）及f（-1）=2得，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4，
f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），因为f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f（2）=4，f（2）=-4，所以f（4）=-8．
又函数f（x）在区间[-2，4]上单调递减，所以f（4）≤f（x）≤f（-2），即-8≤f（x）≤4．
故函数f（x）在区间[-2，4]上的值域为[-8，4]．
（3）因为函数f（x）在R上是奇函数，且单调递减，
所以不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0⇔f（t2-2kt）＜-f（2t2-1）=f（1-2t2）⇔t2-2kt＞1-2t2，
所以对任意t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-1）＜0恒成立，
等价于t2-2kt＞1-2t2恒成立，即t∈[1，3]时2k＜3t-1t恒成立，
而易知3t-1t在∈[1，3]上单调递增，所以(3t-1t)min=3-1=2，
所以有2k＜2，解得k＜1．
所以实数k的取值范围为（-∞，1）．