Question

问一道考研数学全书上的题！！关于零点问题的。谢谢~

设f(x)在[0,+无穷)上连续，在(0,+无穷)可导，f(0)<0,f'(x)>=k>0，其中k为常数。则在(0,+无穷)内f(x)只有一个零点。 全书的答案给出了证明（而且我觉得从图上看是显然的）。然后又问当没有f'(x)>=k这个条件，即只有f'(x)>0这个条件时，结论还成立吗？ 从语气上感觉是不成立的样子。但是又想不出来为什么。谁能给我个证明或者举个反例？T_T

Answer 1

首先结论不成立。
反例：考虑
y=-1/x的图像，如果把图像向左平移一个单位，f(x)=-1/(x+1)
那么此时的f(x)满足上面的所有条件，但是没有零点。