Question

为什么实对称矩阵一定可以对角化

n阶实对称矩阵对角化
1、实对称矩阵一定可以相似对角化,因为它一定有n个线性无关的特征向量.并且它还可以用正交矩阵相似对角化.那么当一个普通矩阵有n个线性无关的特征向量时,它也一定可以相似对角化,并且也可以用正交矩阵相似对角化,因为只需把它的n的线性无关的特征向量施密特正交化即可,所以用正交矩阵相似对角化不是实对称矩阵专利?
2、实对称矩阵也一定可以合同对角化,即CTAC=对角矩阵,并且使用的可逆矩阵C可以不是正交矩阵；但当C不仅可逆而且是正交矩阵时,则A与对角矩阵不仅合同,而且相似.那么我想知道为什么实对称矩阵一定可以合同对角化?严格的证明是什么?
3、两个矩阵合同的充要条件是：它们构成的二次型的正负惯性指数相同.我想知道为什么,怎么证明?

Answer 1

实对称矩阵一定可以对角化，因为相似对角化的充要条件是n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，充分条件是A有n个不同的特征值，而n个不同的特征值一定对应n个线性无关的特征向量，实对称矩阵n重特征值对应n个线性无关的特征向量，所以实对称矩阵一定可以对角化。

扩展资料：

实对称矩阵的性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ0具有k重特征值，必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

Answer 2

不用厄米特矩阵。若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。
设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕

然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化

Answer 3

1.因为特征向量经过施密特正交化之后不一定是原来矩阵（线性变换）的特征向量,也即在经过正交化的基表示下不一定是对角的.在酉空间中,矩阵可以正交对角化的充要条件是矩阵满足AA*=A*A （A*是A的共轭转置）
2.这要从变换的角度来理解.左乘初等矩阵,是对行作初等变换,再右乘这个初等矩阵的转置,是对列作“对称”的初等变换,因为矩阵是对称的,所以这样做一定最后可以把它对角化.比如假设对称矩阵（1,1）位置的元素不为0,先用行初等变换通过第一行把第三行的第一个元素消为0,那么再右乘这个变换对应矩阵的转置后,则一定会把第三列的第一个元素消为0.
3这个是基本的证明,你可以参考吴泉水复旦大学《高等代数》