Question

高中数学函数题

关于x方程的(X^2-1)^2-｜X^2-1｜+K=0
给出下列四个命题：
存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；
存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；
存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；
存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3

Answer 1

选A

该题可以看作是f(x)=-(x²-1)²+｜x²-1|与直线y=k的交点个数

设t=x²-1 函数y=-|t|²+|t| 画出该分段函数图像

t≥-1 故去掉t＜-1的部分

可知当k=1/4时 t=1/2或-1/2时与直线y=k有交点

即x=正负√（3/2)或正负√2/2时等式成立

此时方程有4个解。

同理当0＜k＜1/4时 存在4个不同的t值是方程成立

这时就有8个不同的x,即有8个不同的根。

当k=0时 t=-1,0,1; 但只有x=0时 t=-1

故此时有5个根

同理当k＜0时 直线y=k与y=-|t|²+|t|（t≥-1）仅有一个交点

此时方程有两个根。
所以命题是完全正确的。

这是题目涉及的图像：http://hi.baidu.com/%E5%D0%D2%A3%CF%C9%D2%F4/album/item/c036838cf4e1b73cb31bba98.html

我们还可以直接通过f(x)=-(x²-1)²+｜x²-1|的图像来看，也可以得到结论。
这是图像： http://hi.baidu.com/%E5%D0%D2%A3%CF%C9%D2%F4/album/item/c036838cf4e1b73cb31bba98.html#IMG=9b01a983773e5e8c0cf4d28b

Answer 2

选D

恐怕是一楼方法是对的但是图似乎不对

应该是这样吧

有0、2、3、4四种情况吧

Answer 3

求解的个数这一类型的题一般都用数形结合的方法，
这个题还很有印象，高中做过好几次！

Answer 4

A

Answer 5

D

Answer 6

A