Question

数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,a(n+1）=n+2/nSn(n=...

数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,a(n+1）=n+2/nSn(n=1,2,3.),证明（1)数列{Sn/n}是等比数列.（2）S(n+1)=4an

Answer 1

证明：
(1)
注意到：
a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知,
{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1)
(*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)
(n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2)
(n属于N且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2)
(n属于N)
由(*)式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n)