Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②∀x∈R，f...

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：①f（0）=0；②∀x∈R，f（x）≥x；③f（-12+x）=f（-12-x）． （1）求f（x）的表达式； （2）试讨论函数g（x）=f（x）-2x在区间[-2，2]内的单调性； （3）是否存在实数t，使得函数h（x）=f（x）-x2-x+t与函数u（x）=|log2x|（x∈（0，2]）的图象恒有两个不同交点，如果存在，求出相应t的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由条件①得f（0）=c=0，
由③f（-12+x）=f（-12-x）知f（x）的对称轴x=-b2a=-12，即a=b，
由②∀x∈R，f（x）≥x，即ax2+（a-1）x≥0，对∀x∈R恒成立，
∴a＞0△=(a-1)2≤0，
又（a-1）2≥0，∴a=b=1，
∴f（x）=x2+x．
（2）g（x）=f（x）-2x=x2-x，其图象为开口向上的抛物线且对称轴为x=12，
所以g（x）在区间[-2，12]上单调递减，在区间[12，2]上单调递增；．
（3）存在实数t，使两函数图象恒有两个交点，理由如下：
h（x）=f（x）-x2-x+t=t，
又函数u（x）=|log2x|（x∈（0，2]）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，又u（1）=0，u（2）=1，
∴h（x）与u（x）恒有两个不同交点得实数t的取值范围是（0，1]．